Integrales en selectividad: cómo calcularlas sin cometer los errores de siempre
Las integrales son uno de los bloques más importantes del temario de matemáticas en la EVAU, y también uno de los que más puntos se pierden por errores evitables. Si sabes qué técnica aplicar y dónde suele fallar la gente, tienes mucho ganado.
La realidad es que no hay que ser un genio del cálculo. Lo que marca la diferencia entre un 6 y un 9 en este bloque es conocer cuatro técnicas bien y no cometer los fallos de siempre.
Lo esencial
- El método LIATE te dice qué función elegir como "u" en integración por partes, sin tener que adivinar.
- Si dos curvas se cruzan, el área entre ellas cambia de signo en el punto de corte — y hay que separar los intervalos.
- Olvidar la constante +C en integrales indefinidas es el error más tonto y más frecuente del examen.
- Practicar ejercicios reales de EVAU es lo que más sube la nota, no solo estudiar teoría.
Qué tipos de integrales entran en la EVAU de matemáticas
El temario de análisis en Matemáticas II incluye las integrales como bloque específico. Según la convocatoria oficial, te pueden preguntar:
- Cálculo de integrales indefinidas (con técnicas como sustitución o partes)
- Integrales definidas y su interpretación geométrica
- Cálculo de áreas encerradas entre curvas o entre una curva y el eje X
No todas las comunidades autónomas estructuran el examen igual, así que consulta siempre la convocatoria oficial de tu comunidad para saber cuántos ejercicios hay y cómo puntúan. Dicho esto, las técnicas de cálculo son las mismas en todas partes.
El método LIATE: nunca más te bloquees con integración por partes
La integración por partes se aplica cuando tienes un producto de dos funciones que no puedes integrar directamente. La fórmula es:
∫ u · dv = u · v − ∫ v · du
El problema no es la fórmula. El problema es saber cuál de las dos funciones es "u" y cuál es "dv". Y aquí viene lo que nadie te cuenta en clase con suficiente claridad: existe un orden de prioridad que funciona casi siempre.
Se llama LIATE:
| Prioridad | Tipo de función | Ejemplo |
|---|---|---|
| 1ª | Logarítmicas | ln(x), log₂(x) |
| 2ª | Inversas trigonométricas | arctan(x), arcsin(x) |
| 3ª | Algebraicas (polinomios) | x², 3x+1 |
| 4ª | Trigonométricas | sen(x), cos(x) |
| 5ª | Exponenciales | eˣ, 2ˣ |
La que aparezca más arriba en la lista, esa es tu u. La otra es dv.
Ejemplo típico de EVAU
Calcular ∫ x · eˣ dx.
Aquí tienes una algebraica (x) y una exponencial (eˣ). LIATE dice: algebraica va antes que exponencial, así que u = x y dv = eˣ dx.
- du = dx
- v = eˣ
Aplicando la fórmula: ∫ x · eˣ dx = x · eˣ − ∫ eˣ dx = x · eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C
Limpio, directo y sin adivinar.
Ojo: Si en el examen aparece algo como ∫ ln(x) dx, LIATE también funciona aunque parezca que solo hay una función. Pones u = ln(x) y dv = dx. La integral se resuelve perfectamente.
Integración por sustitución: cuándo y cómo aplicarla
Esta técnica — también llamada cambio de variable — sirve cuando dentro de la integral hay una función compuesta y su derivada aparece (o casi aparece) multiplicando.
La idea es sustituir la parte complicada por una variable nueva, normalmente "t" o "u", integrarlo todo en esa nueva variable y luego volver a la original.
Ejemplo: ∫ 2x · (x² + 1)⁵ dx
Aquí, si llamas t = x² + 1, entonces dt = 2x dx. El 2x que multiplica ya está ahí. La integral se convierte en ∫ t⁵ dt = t⁶/6 + C = (x² + 1)⁶/6 + C.
Sencillo cuando sabes identificarlo. El truco está en fijarse si la derivada de lo que va "dentro" aparece fuera.
Integrales de funciones racionales: no son tan complicadas
Las funciones racionales (un polinomio partido por otro) entran en el temario y suelen provocar cara de pánico. Pero hay un protocolo claro:
- Si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, divide primero.
- Si el denominador se puede factorizar, usa descomposición en fracciones simples.
- Integra cada fracción por separado.
Este tipo de ejercicio es habitual en la PAU. No tienes que inventar nada, solo seguir los pasos.
El error de la constante C: tan tonto que duele
Este es el fallo más clásico del examen. Lo vemos una y otra vez.
Cuando calculas una integral indefinida, el resultado siempre lleva + C al final. Siempre. Sin excepción.
¿Por qué? Porque integrar es la operación inversa de derivar, y la derivada de una constante es cero. Eso significa que hay infinitas funciones que tienen la misma derivada, y todas ellas difieren en una constante.
Olvidarte de la +C en una integral indefinida puede costarte décimas o incluso puntos enteros, dependiendo del criterio de corrección de tu comunidad. No te merece la pena el descuido.
Consejo: Acostúmbrate a escribir +C en cuanto acabes la integral, antes incluso de simplificar. Hazlo un hábito automático.
Cálculo de áreas entre curvas: el signo que lo cambia todo
Aquí es donde la mayoría se pierde, y no es por falta de inteligencia — es porque nadie explica bien el porqué.
La integral definida ∫[a,b] f(x) dx calcula el área con signo. Si la función está por debajo del eje X, el valor de la integral es negativo, aunque el área "real" sea positiva.
Cuando las curvas se cruzan
Si calculas el área entre dos curvas f(x) y g(x) en un intervalo donde se cruzan, tienes que:
- Encontrar los puntos de corte (igualar f(x) = g(x))
- Separar el intervalo en subintervalos según cuál va por encima
- En cada subintervalo, calcular ∫ |f(x) − g(x)| dx
Si no lo haces así, las áreas se compensan y el resultado es incorrecto. Muchos estudiantes suman un área positiva con una negativa y obtienen un número que no tiene ningún sentido geométrico.
Ejercicio completo: área encerrada entre dos parábolas
Este tipo de ejercicio aparece con mucha frecuencia en los exámenes de selectividad. Vamos a resolverlo paso a paso.
Enunciado: Calcula el área de la región encerrada entre f(x) = x² y g(x) = 2x.
Paso 1 — Puntos de corte: x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x − 2) = 0 → x = 0 y x = 2
Paso 2 — Cuál va por encima: En el intervalo [0, 2], comprueba con x = 1: f(1) = 1 y g(1) = 2. Como g(x) > f(x), la función de arriba es g(x) = 2x.
Paso 3 — Calcular la integral: ∫[0,2] (2x − x²) dx = [x² − x³/3] evaluado de 0 a 2
En x = 2: 4 − 8/3 = 12/3 − 8/3 = 4/3 En x = 0: 0
Área = 4/3 unidades cuadradas
Resultado limpio, sin trampa. En el examen habrás visto variantes con parábolas más complicadas o con tres funciones, pero el método es exactamente este.
Preguntas frecuentes sobre integrales en selectividad
¿Cómo sé si tengo que usar partes o sustitución en el examen de matemáticas?
Fíjate en la forma de la integral. Si ves un producto de dos funciones de distinto tipo (por ejemplo, un polinomio con un logaritmo o con una exponencial), piensa en integración por partes. Si ves una función compuesta y su derivada aparece multiplicando, ve directamente a sustitución. Con práctica, lo identifies en segundos.
¿Entran las integrales impropias en la EVAU?
Depende de la comunidad autónoma y de la modalidad. En general, el temario oficial de Matemáticas II se centra en integrales definidas estándar y cálculo de áreas. Si tienes dudas sobre qué entra exactamente en tu prueba, revisa el temario publicado por tu comunidad autónoma o pregunta a tu profesor.
¿Cuánto vale el bloque de integrales en el examen de selectividad?
La ponderación varía según la comunidad y el año de convocatoria, así que no te fíes de un número genérico que leas por ahí. Lo que sí puedes hacer es revisar los exámenes de años anteriores de tu comunidad — en Destilify tienes ejercicios organizados por tema y dificultad para que practiques exactamente lo que entra en tu EVAU.
¿Es obligatorio usar el método LIATE o puedo elegir u libremente?
LIATE es una guía, no una ley. Hay integrales donde invertir el orden también funciona, aunque es menos habitual. Lo que sí es obligatorio es que la elección de "u" permita derivarla fácilmente y que "dv" se pueda integrar. Si tu elección te lleva a algo más complicado que el original, da marcha atrás y prueba al revés.