Derivadas y sus aplicaciones en la EVAU de Matemáticas
Las derivadas son uno de los bloques de análisis que más puntuación concentran en la EVAU de Matemáticas. Si las dominas, llevas prácticamente medio examen de análisis en el bolsillo. Y no es exageración: máximos, mínimos, monotonía y problemas de optimización aparecen casi siempre, en todas las comunidades autónomas.
El problema es que mucha gente llega al examen sabiendo derivar mecánicamente pero sin entender qué hacer después. Y ahí es donde se pierden los puntos.
Lo esencial
- Las reglas de derivación (producto, cociente, cadena) son la base: sin ellas no arrancas.
- El estudio de monotonía y extremos sigue siempre el mismo esquema. Apréndelo de memoria.
- Los problemas de optimización tienen pasos muy concretos. Si los sigues, casi no puedes fallar.
- El error más común es olvidar justificar si un punto crítico es máximo o mínimo con la segunda derivada.
Reglas de derivación que sí o sí tienes que tener controladas
No hay atajos aquí. Antes de hablar de aplicaciones, tienes que tener las reglas básicas en la cabeza sin pensarlo.
Las que más caen:
- Regla del producto: (u·v)' = u'·v + u·v'
- Regla del cociente: (u/v)' = (u'·v - u·v') / v²
- Regla de la cadena: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)
La cadena es la que más sustos da. Si tienes algo como f(x) = (3x² + 1)⁵, la mayoría lo deriva mal a la primera porque se olvida de multiplicar por la derivada interior (6x en este caso).
Ojo: con la regla del cociente, el orden importa. Arriba va u'·v menos u·v', no al revés. Es el error de transcripción más típico en el examen.
Una tabla para que lo tengas a mano:
| Función | Derivada |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| eˣ | eˣ |
| ln(x) | 1/x |
| sen(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sen(x) |
| f(g(x)) | f'(g(x))·g'(x) |
Memoriza esto. No es opcional.
Cómo hacer el estudio de monotonía y extremos paso a paso
Este es el esquema que usamos nosotros y que funciona siempre:
- Calcula f'(x).
- Iguala f'(x) = 0 y resuelve. Los valores que obtengas son los puntos críticos.
- Construye un tablero de signos: evalúa el signo de f'(x) en cada intervalo entre los puntos críticos.
- Interpreta: donde f'(x) > 0, la función es creciente; donde f'(x) < 0, decreciente.
- Un punto crítico donde f' cambia de positivo a negativo es un máximo local. Si cambia de negativo a positivo, es un mínimo local.
Parece mucho, pero con práctica lo haces en tres minutos.
¿Y si no cambia de signo?
Si f'(x) = 0 en un punto pero no cambia de signo, ese punto es un punto de inflexión (o punto de silla), no un extremo. Esto también cae en la EVAU y hay gente que lo clasifica mal.
La segunda derivada: para qué sirve y cuándo usarla
La segunda derivada, f''(x), tiene dos usos principales en el examen:
- Estudiar la concavidad: si f''(x) > 0, la función es cóncava hacia arriba (convexa); si f''(x) < 0, cóncava hacia abajo.
- Criterio de la segunda derivada para extremos: si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, entonces a es un mínimo local. Si f''(a) < 0, es un máximo local.
La verdad es que muchos estudiantes se saltan esto porque con el tablero de signos ya tienen suficiente. Pero en los problemas de optimización es donde la segunda derivada salva la nota, porque el examinador suele pedir que justifiques que tu solución es efectivamente un máximo o un mínimo.
Si no lo justificas, puedes perder puntos aunque el resultado numérico sea correcto.
Problemas de optimización en la EVAU: los pasos exactos
Y aquí viene lo que nadie te cuenta con suficiente claridad...
Los problemas de optimización tienen siempre la misma estructura. Una vez que la identificas, el problema pierde el 80 % de su dificultad.
Los pasos son estos:
- Lee con cuidado y dibuja si puedes. Entender qué se pide (maximizar área, minimizar coste, etc.) es la mitad del trabajo.
- Identifica la función objetivo. Es la cantidad que quieres maximizar o minimizar.
- Identifica las restricciones. Suele haber una condición que relaciona las variables (perímetro fijo, volumen constante...).
- Expresa la función objetivo en una sola variable usando la restricción.
- Deriva e iguala a cero para encontrar los puntos críticos.
- Comprueba con la segunda derivada (o con el tablero de signos) que es realmente el tipo de extremo que buscas.
- Responde la pregunta con las unidades correctas y una frase clara.
El paso 7 parece obvio, pero en el examen con los nervios mucha gente da el valor de x y se olvida de calcular lo que pedían (el área, el volumen, el precio...).
Problema de optimización resuelto
Este tipo de enunciado es un clásico de la EVAU:
Se quiere construir una caja de base cuadrada, sin tapa, con un volumen de 32 cm³. ¿Qué dimensiones minimizan la cantidad de material empleado?
Solución:
Sea x el lado de la base y h la altura.
- Volumen: x²·h = 32, por tanto h = 32/x²
- Superficie (función objetivo): S = x² + 4·x·h = x² + 4x·(32/x²) = x² + 128/x
Derivamos: S'(x) = 2x - 128/x²
Igualamos a cero: 2x - 128/x² = 0 → 2x³ = 128 → x³ = 64 → x = 4 cm
Segunda derivada: S''(x) = 2 + 256/x³. En x = 4: S''(4) = 2 + 256/64 = 2 + 4 = 6 > 0 ✓ (es un mínimo)
Altura: h = 32/16 = 2 cm
La caja que minimiza el material tiene base de 4 cm × 4 cm y altura de 2 cm.
Ojo: fíjate que la segunda derivada nos confirma que es un mínimo, no un máximo. Sin ese paso, la solución está incompleta.
Monotonía, extremos y concavidad: diferencias clave
Mucha gente confunde estos tres conceptos, especialmente en la redacción del examen. Un resumen rápido:
| Concepto | Se estudia con | Qué te dice |
|---|---|---|
| Monotonía | f'(x) | Dónde crece y decrece la función |
| Extremos locales | f'(x) = 0 + tablero de signos | Máximos y mínimos locales |
| Concavidad | f''(x) | Si la curva está hacia arriba o abajo |
| Puntos de inflexión | f''(x) = 0 + cambio de signo | Dónde cambia la concavidad |
En la EVAU suelen pedir todos estos juntos dentro del "estudio completo de una función". No te saltes ninguno.
Cómo preparar este bloque sin perder la cabeza
Este tema es un coñazo, no te vamos a mentir. Hay muchas fórmulas y es fácil mezclarlo todo si no practicas con orden.
Lo que hacemos nosotros en Destilify es trabajarlo en dos fases: primero automatizar las reglas de derivación con ejercicios mecánicos, y solo después pasar a aplicaciones. Si intentas aprender todo a la vez, acabas bloqueado.
Practica al menos cinco problemas de optimización completos antes del examen. No para memorizar el resultado, sino para que los pasos te salgan solos. En Destilify tienes ejercicios tipo EVAU con corrección detallada para que puedas revisar exactamente dónde te equivocas.
¿Tienes claro el esquema del tablero de signos o todavía te lía? Porque si no, todo lo demás se tambalea.
Preguntas frecuentes sobre derivadas en la EVAU
¿Las derivadas entran siempre en la EVAU de Matemáticas?
El bloque de análisis, que incluye derivadas y sus aplicaciones, forma parte del temario oficial de Matemáticas II en todas las comunidades autónomas. Dicho esto, el peso concreto y la estructura del examen varía según la convocatoria y la comunidad, así que consulta siempre la convocatoria oficial de tu comunidad antes del examen.
¿Cuál es la diferencia entre máximo local y máximo absoluto en análisis?
Un máximo local es el punto más alto en un entorno pequeño de la función; puede haber varios. El máximo absoluto es el mayor valor de la función en todo su dominio (o en un intervalo cerrado). En la EVAU suelen pedir los locales, aunque si el dominio está acotado puede aparecer el absoluto también.
¿Tengo que usar la segunda derivada para justificar los extremos en la EVAU?
No es obligatorio si usas el tablero de signos y lo explicas bien. Pero si el enunciado de optimización pide justificar el tipo de extremo, o si la segunda derivada da una justificación más limpia, úsala. Lo importante es que quede claro por qué tu punto crítico es un máximo o un mínimo, no que uses un método concreto.
¿Cómo planteo la función objetivo en un problema de optimización de derivadas?
Primero identifica qué cantidad quieres maximizar o minimizar (área, volumen, coste...). Escríbela en función de las variables del problema. Después usa la restricción que te da el enunciado para eliminar una variable y dejar la función en términos de solo una. Ese es siempre el paso más difícil y el que más práctica necesita.