Geometría analítica en el espacio para la EVAU: rectas, planos y distancias
La geometría analítica en el espacio es uno de los bloques con más peso en las matemáticas de la EVAU: consiste en representar y operar con rectas, planos y puntos mediante ecuaciones y vectores. Si entiendes bien la lógica detrás de cada herramienta —cuándo usas producto escalar, cuándo vectorial, cuándo el rango de una matriz— este bloque se convierte en una fuente segura de puntos en selectividad.
Y no te engañes: este tema parece mecánico, pero aquí es donde la mayoría se pierde justo cuando más lo necesita.
Lo esencial
- Las posiciones relativas de dos planos se determinan comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.
- El error más frecuente en la EVAU es confundir cuándo toca producto escalar y cuándo producto vectorial.
- La distancia de un punto a un plano tiene una fórmula directa que te ahorra muchísimo tiempo.
- Un ejercicio típico combina recta + plano: intersección, ángulo y distancia en el mismo enunciado.
Qué son las ecuaciones de rectas y planos en geometría analítica
Una recta en el espacio queda definida por un punto y un vector director. A partir de ahí tienes tres formas de escribirla:
- Paramétrica: x = x₀ + a·t, y = y₀ + b·t, z = z₀ + c·t
- Continua (simétrica): (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c
- Por dos puntos: coges dos puntos, calculas el vector director restando sus coordenadas y ya tienes la paramétrica.
Un plano se define con un punto y un vector normal (perpendicular al plano). La ecuación general es: ax + by + cz + d = 0, donde (a, b, c) es precisamente ese vector normal.
Lo que pasa es que muchos estudiantes aprenden las fórmulas de memoria sin entender qué representa cada elemento. Y luego en el examen, si el enunciado cambia un poco el planteamiento, se bloquean. Entiende el concepto y el resto viene solo.
Posiciones relativas de dos planos: cómo usar el rango de la matriz
Este es uno de los puntos que más pregunta la EVAU y donde más errores se cometen.
Dados dos planos π₁: a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 y π₂: a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, formas un sistema y analizas los rangos:
| Situación | Rango matriz coeficientes | Rango matriz ampliada |
|---|---|---|
| Planos coincidentes | 1 | 1 |
| Planos paralelos | 1 | 2 |
| Planos secantes | 2 | 2 |
La regla es simple: si ambos rangos son iguales, tienen solución (coincidentes o secantes). Si difieren, son paralelos sin solución.
Ojo: Para tres planos el análisis es el mismo pero con una matriz 3×4. El rango puede ser 1, 2 o 3, y cada combinación posible de rangos entre la matriz de coeficientes y la ampliada te da un tipo de sistema diferente. Repásalo con calma porque suele caer en la EVAU.
Con dos planos secantes, la intersección es una recta. Para encontrarla, resuelves el sistema dejando un parámetro libre —por ejemplo, haciendo z = t— y expresas x e y en función de t.
El error más común: producto escalar vs. producto vectorial
A ver, esto hay que dejarlo claro de una vez.
Producto escalar (u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃): da un número. Se usa para:
- Calcular el ángulo entre dos vectores: cos α = (u·v) / (|u|·|v|)
- Comprobar si dos vectores son perpendiculares: u·v = 0
- Ángulo entre recta y plano, o entre dos planos
Producto vectorial (u × v): da un vector perpendicular a los dos. Se usa para:
- Obtener el vector normal de un plano cuando tienes dos vectores paralelos a él
- Calcular el área de un paralelogramo o triángulo
- Comprobar si dos vectores son paralelos: u × v = (0, 0, 0)
Y aquí viene lo que nadie te cuenta de forma clara: cuando el enunciado te pide el ángulo entre dos planos, usas el producto escalar entre sus vectores normales. Cuando te pide construir un plano que contenga dos rectas, necesitas el producto vectorial para encontrar el normal.
La confusión suele venir porque ambos involucran vectores. El truco: si el resultado final es un ángulo o un número, producto escalar; si necesitas un vector nuevo, producto vectorial.
Cómo calcular la distancia de un punto a un plano
Esta es la fórmula que más agradecerás tener bien aprendida. Dado un punto P = (x₀, y₀, z₀) y un plano ax + by + cz + d = 0:
d(P, π) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)
Directa, sin construcciones auxiliares, sin montar sistemas. Solo sustituyes y calculas.
Ejemplo: distancia del punto P = (1, 2, -1) al plano 2x - y + 2z - 3 = 0.
d = |2·1 + (-1)·2 + 2·(-1) - 3| / √(4 + 1 + 4) = |2 - 2 - 2 - 3| / √9 = |-5| / 3 = 5/3
Listo. Cinco minutos bien invertidos aprendiendo esta fórmula te pueden dar puntos limpios en el examen.
Consejo de Destilify: Apréndete también la distancia entre dos rectas paralelas (usas un punto de una y aplicas la fórmula del punto al plano que contiene la otra) y la distancia punto-recta. En selectividad no siempre te preguntan solo una, y encadenarlas bien es lo que diferencia un 8 de un 10.
Distancia de un punto a una recta
Para la distancia de un punto P a una recta r que pasa por A con vector director v, la fórmula es:
d(P, r) = |AP × v| / |v|
Donde AP es el vector que va de A a P, y el módulo del producto vectorial se calcula con el determinante habitual. No es tan directa como la del plano, pero tampoco es complicada si tienes claro el producto vectorial.
Posición relativa de recta y plano
Una recta puede estar en tres situaciones respecto a un plano:
- Paralela: el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano (producto escalar = 0) y el punto de la recta no pertenece al plano.
- Contenida: igual que la anterior, pero el punto sí pertenece al plano.
- Secante: el producto escalar entre director y normal es distinto de cero. Hay un punto de intersección.
Para encontrar ese punto de intersección, sustituyes las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano, despejas t y lo reemplazas.
Ejercicio tipo EVAU: recta y plano combinados
Este tipo de ejercicio aparece con frecuencia en la prueba de acceso. Te propongo uno parecido a los que han salido en distintas convocatorias:
Enunciado: Sea la recta r: (x-1)/2 = (y+1)/(-1) = z/1 y el plano π: x + 2y - z + 3 = 0.
a) Estudia la posición relativa de r y π. b) Si son secantes, halla el punto de intersección. c) Calcula la distancia del punto A = (1, -1, 0) al plano π.
Solución paso a paso:
a) Vector director de r: v = (2, -1, 1). Normal de π: n = (1, 2, -1). Producto escalar: v·n = 2·1 + (-1)·2 + 1·(-1) = 2 - 2 - 1 = -1 ≠ 0 → la recta es secante al plano.
b) Paramétricas de r: x = 1+2t, y = -1-t, z = t. Sustituimos en π: (1+2t) + 2(-1-t) - t + 3 = 0 → 1 + 2t - 2 - 2t - t + 3 = 0 → 2 - t = 0 → t = 2. Punto: x = 5, y = -3, z = 2. Intersección: (5, -3, 2).
c) d(A, π) = |1 + 2·(-1) - 0 + 3| / √(1+4+1) = |1 - 2 + 3| / √6 = 2/√6 = √6/3.
Preguntas frecuentes sobre geometría analítica en la EVAU
¿Cuánto peso tiene la geometría analítica en el examen de matemáticas de selectividad?
El peso concreto varía según la comunidad autónoma y la convocatoria, así que consulta siempre la estructura oficial de tu comunidad. Lo que sí es constante es que la geometría analítica —rectas, planos, distancias y vectores— forma parte del bloque de geometría en el espacio, que suele tener una representación relevante en las pruebas de Matemáticas II de la EVAU.
¿Cómo sé si dos rectas en el espacio se cruzan o se cortan?
Para comprobar si dos rectas r₁ y r₂ se cortan, iguala sus paramétricas y resuelve el sistema. Si tiene solución única, se cortan en ese punto. Si es incompatible, son paralelas o se cruzan: para distinguirlas, comprueba si sus vectores directores son proporcionales (paralelas) o no (se cruzan). El producto mixto de los dos directores y el vector que une un punto de cada recta también te da la respuesta: si es cero, son coplanarias.
¿Cuál es la diferencia entre vector normal y vector director en geometría analítica?
El vector director es paralelo a la recta (o al plano, en ese caso hablaríamos de vectores paralelos al plano). El vector normal es perpendicular al plano. Para una recta en el espacio no existe un único vector normal, pero para un plano sí: es el que aparece como coeficientes (a, b, c) en la ecuación general ax + by + cz + d = 0. Confundirlos es uno de los errores más típicos en selectividad.
¿Puedo practicar geometría analítica con ejercicios reales de la EVAU?
Sí, y es lo más recomendable. En Destilify tienes ejercicios de geometría analítica organizados por tipo —posiciones relativas, distancias, recta y plano— para que practiques exactamente lo que cae en la prueba de acceso. Practicar con el formato real del examen marca una diferencia enorme el día de la selectividad.