Probabilidad en la EVAU: Bayes, sucesos y tablas de contingencia
La probabilidad condicionada es uno de los temas que más puntos regala en la EVAU si sabes cómo montarla, y uno de los que más puntos cuesta si te lías con los sucesos. El teorema de Bayes aparece casi cada año en los exámenes de matemáticas de selectividad, especialmente con ese clásico del test médico o las dos urnas. La buena noticia: una vez que tienes el esquema claro, todos los problemas se resuelven igual.
Lo esencial
- La probabilidad condicionada mide la probabilidad de un suceso sabiendo que otro ya ha ocurrido: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
- El teorema de la probabilidad total te permite calcular la probabilidad de un suceso descomponiéndolo en casos excluyentes
- El teorema de Bayes invierte la condición: sabes el resultado, quieres saber la causa
- Un diagrama de árbol bien hecho resuelve el 90% de estos problemas sin liarte
Qué es la probabilidad condicionada y por qué aparece siempre en la EVAU
Cuando hablamos de probabilidad condicionada, hablamos de probabilidad con información extra. No es lo mismo preguntar "¿qué probabilidad hay de que llueva mañana?" que "¿qué probabilidad hay de que llueva mañana, sabiendo que hoy hay nubes?".
La fórmula que tienes que conocer sí o sí:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Donde P(A|B) se lee "probabilidad de A dado B". Eso es todo. El problema es que en los enunciados de la EVAU esto viene disfrazado con palabras como "se sabe que", "sabiendo que" o "dado que". Cuando veas esas expresiones, estás ante una probabilidad condicionada. Punto.
Sucesos independientes vs. dependientes: la diferencia que cambia todo
Aquí es donde la mayoría se pierde en el examen de matemáticas.
Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afecta para nada a la probabilidad del otro. En ese caso:
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Y también se cumple que P(A|B) = P(A). Es decir, saber que B ocurrió no te dice nada nuevo sobre A.
Dos sucesos son dependientes cuando sí se influyen mutuamente. El ejemplo más típico en la EVAU: sacar bolas de una urna sin reposición. Si sacas una bola roja en el primer intento, quedan menos bolas rojas para el segundo. Eso cambia la probabilidad.
| Independientes | Dependientes | |
|---|---|---|
| Fórmula de la intersección | P(A)·P(B) | P(A)·P(B|A) |
| ¿Afecta uno al otro? | No | Sí |
| Ejemplo típico | Lanzar dos monedas | Urna sin reposición |
| P(A|B) = | P(A) | ≠ P(A) |
Cómo montar un diagrama de árbol sin equivocarte
El árbol de probabilidad es la herramienta más potente que tienes para estos problemas. Y no lo dice la teoría, lo dice la práctica de haber hecho docenas de ejercicios de selectividad.
El truco está en seguir estas reglas sin saltarte ninguna:
- Las ramas de cada nodo deben sumar 1. Si en una bifurcación tienes P(A) = 0.3, la otra rama es P(Aᶜ) = 0.7.
- La probabilidad de un camino se calcula multiplicando todas las ramas que lo forman.
- Para calcular la probabilidad de un suceso final, sumas todos los caminos que llevan a él.
Ojo: El error más frecuente es poner probabilidades que no suman 1 en una misma bifurcación. Antes de seguir calculando, revisa siempre que cada nivel del árbol está bien.
Dibuja primero las causas (las urnas, las fábricas, los grupos), luego los efectos (el resultado que observas). De izquierda a derecha, siempre.
Probabilidad total: descomponer para conquistar
El teorema de la probabilidad total te dice que si tienes un conjunto de sucesos excluyentes y exhaustivos B₁, B₂, ..., Bₙ (es decir, que entre todos cubren todos los casos posibles), puedes calcular la probabilidad de cualquier suceso A así:
P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) + P(A|B₂)·P(B₂) + ... + P(A|Bₙ)·P(Bₙ)
En el árbol, esto es exactamente la suma de todos los caminos que terminan en A.
Un ejemplo que sale mucho en la PAU: una empresa tiene dos fábricas. La fábrica 1 produce el 60% de los artículos y tiene un 2% de defectuosos. La fábrica 2 produce el 40% y tiene un 5% de defectuosos. ¿Qué probabilidad hay de coger un artículo defectuoso al azar?
P(defectuoso) = 0.6·0.02 + 0.4·0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032
Eso es probabilidad total. Sencillo cuando lo ves así, ¿verdad? El árbol lo hace visual.
Teorema de Bayes: la pregunta al revés
Y aquí viene lo que nadie te cuenta claramente en clase...
El teorema de Bayes hace exactamente lo contrario a la probabilidad total. Tú ya sabes que ha ocurrido el suceso A (el artículo es defectuoso) y quieres saber cuál es la probabilidad de que venga de una causa concreta (de la fábrica 1).
La fórmula:
P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ) / P(A)
Donde P(A) ya la has calculado con la probabilidad total. Es decir, Bayes es el paso siguiente al árbol que ya tienes montado.
Siguiendo el ejemplo anterior: ¿qué probabilidad hay de que un artículo defectuoso venga de la fábrica 1?
P(F1|defectuoso) = (0.6·0.02) / 0.032 = 0.012 / 0.032 = 0.375
El 37.5% de los defectuosos son de la fábrica 1, aunque produce el 60% del total. La razón: su tasa de defectos es mucho menor.
Ojo: Muchos estudiantes intentan memorizar la fórmula de Bayes sin entenderla. Lo que hacemos nosotros en Destilify es enseñarte a leerla desde el árbol: el numerador es el camino que te interesa, el denominador es la suma de todos los caminos que llegan al mismo resultado.
Problema resuelto tipo EVAU: el test médico
Este es el problema favorito de los examinadores. Aparece en múltiples convocatorias con pequeñas variaciones.
Enunciado: Una enfermedad afecta al 1% de la población. Un test para detectarla da positivo en el 95% de los casos si la persona está enferma (sensibilidad), y da positivo en el 3% de los casos si la persona está sana (falso positivo). Una persona da positivo en el test. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?
Resolución paso a paso:
Definimos los sucesos:
- E: "la persona está enferma" → P(E) = 0.01, P(Eᶜ) = 0.99
- +: "el test da positivo"
Datos de probabilidad condicionada:
- P(+|E) = 0.95
- P(+|Eᶜ) = 0.03
Probabilidad total (denominador de Bayes):
P(+) = P(+|E)·P(E) + P(+|Eᶜ)·P(Eᶜ) P(+) = 0.95·0.01 + 0.03·0.99 = 0.0095 + 0.0297 = 0.0392
Teorema de Bayes:
P(E|+) = P(+|E)·P(E) / P(+) = 0.0095 / 0.0392 ≈ 0.2423
Solo el 24.2% de quienes dan positivo están realmente enfermos. Sorprendente, pero correcto. Este resultado siempre choca, y precisamente por eso les encanta a los examinadores.
Tablas de contingencia: cuando los datos ya están ahí
A veces el problema no te da probabilidades directamente, sino una tabla de contingencia con frecuencias absolutas. No te asustes.
La mecánica es la misma: divides la frecuencia que te piden entre el total correspondiente.
Si la tabla dice que de 500 personas, 120 son mujeres con estudios universitarios, y en total hay 200 mujeres:
P(universitaria | mujer) = 120/200 = 0.6
Nada de fórmulas raras. Solo fracciones con el contexto correcto. Lo que cambia es el denominador: cuando hay una condición, el denominador es el total de esa condición, no el total general.
Preguntas frecuentes sobre probabilidad en matemáticas EVAU
¿El teorema de Bayes cae todos los años en la EVAU?
No hay garantía absoluta porque el examen varía según la convocatoria y la comunidad autónoma, pero la probabilidad condicionada y Bayes aparecen con mucha frecuencia en matemáticas de la EVAU. Es un tema que se presta a problemas con varios apartados, lo que lo hace muy cómodo para los examinadores.
¿Cómo sé si debo usar Bayes o probabilidad total?
La clave está en qué te están preguntando. Si te dan las causas y quieres el efecto, usas probabilidad total. Si ya sabes el efecto y quieres saber la causa, usas Bayes. En el árbol: probabilidad total va hacia adelante (de izquierda a derecha), Bayes va hacia atrás.
¿Qué diferencia hay entre P(A|B) y P(B|A) en estadística?
Son cosas completamente distintas. P(A|B) es la probabilidad de A sabiendo que ocurrió B. P(B|A) es la probabilidad de B sabiendo que ocurrió A. Confundirlas es uno de los errores más comunes y más penalizados. El teorema de Bayes es precisamente la fórmula que te permite pasar de una a la otra.
¿Puedo practicar problemas de probabilidad tipo EVAU online?
Sí. En Destilify tienes ejercicios de probabilidad adaptados al temario oficial de la EVAU, con explicaciones paso a paso. La ventaja es que puedes practicar exactamente el tipo de problema que te va a caer, con la misma estructura que el examen real.